Полезни съвети

Решението на квадратни уравнения, формулата на корените, примери

Pin
Send
Share
Send
Send


раздели: математика

Необходимостта от решаване на уравнения не само на първата, но и на втората степен в древността е породена от необходимостта да се решават проблеми, свързани с намирането на районите на земя и земни работи от военен характер, както и с развитието на самата астрономия и математика.

Те успяха да разрешат квадратични уравнения около 2000 г. пр. Н. Е. Във Вавилон. Използвайки съвременната алгебраична нотация, можем да кажем, че в техните писмени текстове има, освен непълни, като цялостни квадратни уравнения.

дефиниция

Уравнение на формата брадва 2 + BX + в = 0, където а, б, в са реални числа а ≠ 0, се нарича квадратично уравнение.

ако а = 1, тогава квадратното уравнение се нарича намалено, ако а ≠ 1, след което не се намалява.
Числата а, б, в носят следните имена: а е първият коефициент, б - втори коефициент, в - свободен член.

Корени на уравнението брадва 2 + BX + в = 0 се намират по формулата

изразяване D = б 2 - 4променлив ток се наричат дискриминантен квадратично уравнение.

  • ако D 0, тогава уравнението има два реални корена.

В случая, когато D = 0, понякога се казва, че квадратното уравнение има две еднакви корени.

формула

Пълно квадратично уравнение

Непълни квадратни уравнения

Ако в квадратното уравнение брадва 2 + BX + в = 0 втори коефициент б или свободен член в равна на нула, тогава квадратното уравнение се нарича непълно.

Непълните уравнения се разграничават, защото за да намерите техните корени, не можете да използвате формулата на корените на квадратното уравнение - по-лесно е да се реши уравнението, като се раздели лявата му страна на фактори.

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения:

Решение на непълно квадратно уравнение

Квадратни уравнения със сложни променливи

Първо, помислете за най-простото квадратно уравнение Z 2 = акъдето a е дадено число и z е неизвестно. В набор от реални числа това уравнение:

  1. има един корен Z = 0, ако и = 0,
  2. има два валидни корена Z1, 2 = ±√а
  3. Той няма валидни корени, ако а 2 + х + 1 = 0.
    Решете уравнението. За да направите това, изградете две графики ш = х 2 , ш = х + 1.

ш = х 2, квадратна функция, парабола графика.
ш = х + 1, линейна функция, графиката е права.

Графиките се пресичат в две точки, уравнението има два корена.
Отговорът е: х ≈ -0,6, х ≈ 2,6.

Решаване на задачи с помощта на квадратични уравнения

ПроцеситеСкорост км / часВреме hРазстояние км.
Нагоре на реката10 - х35 / (10 - х)35
До канал10 - х + 118 / (10 - х + 1)18
V токх
V притокх + 1

Знаейки, че скоростта в застояла вода е 10 км / ч, правим уравнението.

Какво е квадратно уравнение? Техните видове

Първо трябва ясно да разберете какво е квадратно уравнение. Следователно разговорът за квадратичните уравнения е логично да започнем с дефиницията на квадратично уравнение, както и свързаните с тях определения. След това можете да разгледате основните типове квадратни уравнения: намалени и нередуцирани, както и пълни и непълни уравнения.

Определение и примери за квадратични уравнения

Квадратно уравнение Е уравнение на формата a x 2 + b x x + c = 0 , където x е променлива, a, b и c са някои числа, а a е ненулева.

Веднага трябва да кажем, че квадратичните уравнения често се наричат ​​уравнения от втора степен. Това е така, защото квадратното уравнение е алгебрично уравнение втора степен.

Посоченото определение ни позволява да дадем примери за квадратични уравнения. Значи 2 · x 2 + 6 · x + 1 = 0, 0,2 · x 2 + 2,5 · x + 0,03 = 0 и т.н. Дали са квадратни уравнения.

Наричат ​​се числата a, b и c квадратични коефициенти a · x 2 + b · x + c = 0, а коефициентът a се нарича първи или най-висок, или коефициент при x 2, b е вторият коефициент или коефициент при x, и c е свободен термин.

Например, вземаме квадратично уравнение от формата 5 · x 2 −2 · x - 3 = 0, тук водещият коефициент е 5, вторият коефициент е −2, а свободният термин е −3. Обърнете внимание, че когато коефициентите b и / или c са отрицателни, както в току-що дадения пример, тогава се използва кратка форма на писане на квадратично уравнение от формата 5 · x 2 −2 · x - 3 = 0, а не 5 · x 2 + (- 2 ) X + (- 3) = 0.

Струва си да се отбележи, че когато коефициентите a и / или b са равни на 1 или -1, тогава те обикновено не присъстват изрично в квадратното уравнение, което е свързано с особеностите на писането на такива числови коефициенти. Например, в квадратното уравнение y 2 −y + 3 = 0, водещият коефициент е единство, а коефициентът за y е −1.

Намалени и нередуцирани квадратни уравнения

В зависимост от стойността на най-високия коефициент се разграничават намалените и нередуцираните квадратни уравнения. Даваме съответните определения.

Нарича се квадратното уравнение, в което водещият коефициент е 1 квадратично уравнение, В противен случай квадратното уравнение е нередуциран.

Съгласно това определение, квадратните уравнения x 2 −3 · x + 1 = 0, x 2 −x - 2/3 = 0 и т.н. - дадено, във всеки от тях първият коефициент е равен на единица. И 5x 2 −x - 1 = 0 и т.н. - нередуцирани квадратни уравнения, най-високите им коефициенти са различни от 1.

От всяко нередуцирано квадратно уравнение чрез разделяне на двете му части на старши коефициент, можем да преминем към горното. Това действие е еквивалентна трансформация, тоест намаленото квадратично уравнение, получено по този начин, има същите корени като първоначалното нередуцирано квадратично уравнение или, подобно на него, няма корени.

Нека да разгледаме пример за това как се осъществява преходът от нередуцирано квадратно уравнение към дадено.

От уравнението 3 · x 2 + 12 · x - 7 = 0 преминете към съответното намалено квадратно уравнение.

Достатъчно е да разделим и двете части от първоначалното уравнение по водещия коефициент 3, то е ненулево, така че можем да извършим това действие. Имаме (3 · x 2 + 12 · x - 7): 3 = 0: 3, което е същото, (3 · x 2): 3+ (12 · x): 3−7: 3 = 0 и по-нататък (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 = 0, откъдето. Така получихме намаленото квадратично уравнение, еквивалентно на първоначалното.

Пълни и непълни квадратни уравнения

Определението на квадратно уравнение съдържа условието a a 0. Това условие е необходимо, за да може уравнението a · x 2 + b · x + c = 0 да е точно квадратично, тъй като за a = 0 то всъщност се превръща в линейно уравнение на формата b · x + c = 0.

Що се отнася до коефициентите b и c, те могат да бъдат равни на нула, както поотделно, така и заедно. В тези случаи квадратното уравнение се нарича непълно.

Извиква се квадратното уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 непъленако поне един от коефициентите b, c е равен на нула.

Пълно квадратично уравнение Е уравнение, в което всички коефициенти са ненулеви.

Такива имена не се дават случайно. От следващите разсъждения това ще стане ясно.

Ако коефициентът b е равен на нула, тогава квадратното уравнение има формата a · x 2 + 0 · x + c = 0 и е еквивалентно на уравнението a · x 2 + c = 0. Ако c = 0, тоест, квадратното уравнение има формата a · x 2 + b · x + 0 = 0, то може да бъде преписано като · x 2 + b · x = 0. И за b = 0 и c = 0 получаваме квадратичното уравнение a · x 2 = 0. Получените уравнения се различават от пълното квадратично уравнение по това, че техните леви части не съдържат нито термин с променливата x, нито свободен термин, или и двете. Оттук и името им - непълни квадратни уравнения.

Значи уравненията x 2 + x + 1 = 0 и −2 · x 2 −5 · x + 0.2 = 0 са примери за пълни квадратични уравнения и x 2 = 0, −2 · x 2 = 0, 5 · x 2 + 3 = 0, −x 2 −5 · x = 0 са непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

От информацията в предходния параграф следва, че три вида непълни квадратни уравнения:

  • a x 2 = 0, коефициентите b = 0 и c = 0 съответстват на него
  • a x 2 + c = 0, когато b = 0,
  • и a · x 2 + b · x = 0, когато c = 0.

Нека анализираме, за да се решат непълните квадратични уравнения на всеки от тези типове.

Започваме с решаването на непълни квадратни уравнения, в които коефициентите b и c са равни на нула, тоест от уравнения от вида a · x 2 = 0. Уравнението a · x 2 = 0 е еквивалентно на уравнението x 2 = 0, което се получава от оригинала, като се разделят двете му части на ненулево число a. Очевидно е, че коренът на уравнението x 2 = 0 е нула, тъй като 0 2 = 0. Това уравнение няма други корени, което се обяснява със свойствата на степента; всъщност за всяко ненулево число p важи неравенството p 2> 0, което означава, че при p ≠ 0 равенството p 2 = 0 никога не се постига.

И така, непълното квадратично уравнение a · x 2 = 0 има уникален корен x = 0.

Като пример даваме решението на непълното квадратично уравнение −4 · x 2 = 0. Уравнението x 2 = 0 е еквивалентно на него, единственият му корен е x = 0, следователно, оригиналното уравнение има уникална нулева корен.

В този случай може да се направи кратко решение, както следва:
−4x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

Сега помислете как са решени частичните квадратични уравнения, в които коефициентът b е нула и c ≠ 0, тоест уравнения от вида a · x 2 + c = 0. Знаем, че прехвърлянето на термина от едната част на уравнението към другата с противоположния знак, както и разделянето на двете части на уравнението на ненулево число, дават еквивалентно уравнение. Следователно можем да извършим следните еквивалентни преобразувания на непълното квадратично уравнение a · x 2 + c = 0:

  • преместете с на дясната страна, което дава уравнението a · x 2 = −c,
  • и разделим двете му части с a, получаваме.

Полученото уравнение ни позволява да правим изводи за корените му. В зависимост от стойностите на a и c, стойността на израза може да бъде отрицателна (например, ако a = 1 и c = 2, тогава) или положителна (например, ако a = −2 и c = 6, тогава), тя не е равна на нула , тъй като по хипотеза c ≠ 0. Ние ще анализираме отделно случаите и.

Ако тогава уравнението няма корени. Това твърдение следва от факта, че квадратът на всяко число е неотрицателно число. От това следва, че когато, тогава за всяко число p равенството не може да бъде вярно.

Ако, тогава ситуацията с корените на уравнението е различна. В този случай, ако си припомним квадратния корен, коренът на уравнението става веднага очевиден, то е число, тъй като. Лесно е да се отгатне, че числото също е коренът на уравнението. Това уравнение няма други корени, което може да се покаже например по обратния метод. Нека го направим.

Ние обозначаваме току-що изразените корени на уравнението като x1 и −x1 , Да предположим, че уравнението има друг корен x2 различен от посочените корени x1 и −x1 , Известно е, че заместване на корените на уравнението вместо x превръща уравнението в истинско числово равенство. За х1 и −x1 имаме, и за х2 Ние имаме. Свойствата на числовите равенства ни позволяват да извършим изваждане по дължина на истинските числови равенства, така че изваждането на съответните части от равенствата дава x1 2 -x2 2 = 0. Свойствата на действията с числа ни позволяват да пренапишем полученото равенство като (x1-x2) · (X1+ х2) = 0. Знаем, че произведението от две числа е равно на нула, ако и само ако поне едно от тях е равно на нула. Следователно от полученото равенство следва, че x1-x2= 0 и / или х1+ х2= 0, което е същото, x2= x1 и / или х2= −x1 , Така стигнахме до противоречие, тъй като в началото казахме, че коренът на уравнението x2 различен от х1 и −x1 , Това доказва, че уравнението няма други корени освен и.

Обобщете информацията от този параграф. Непълното квадратично уравнение a · x 2 + c = 0 е еквивалентно на уравнението, което

  • няма корени, ако,
  • има два корена и ако.

Разгледайте примери за решаване на непълни квадратични уравнения от вида a · x 2 + c = 0.

Започваме с квадратното уравнение 9x 2 + 7 = 0. След прехвърляне на свободния термин в дясната страна на уравнението, той ще получи формата 9 · x 2 = −7. Разделяйки двете страни на полученото уравнение на 9, стигаме до. Тъй като отрицателно число е получено от дясната страна, това уравнение няма корени, следователно първоначалното непълно квадратно уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 няма корени.

Решаваме друго непълно квадратно уравнение −x 2 + 9 = 0. Преместете деветката надясно: −x 2 = −9. Сега разделете и двете страни на −1, получаваме x 2 = 9. От дясната страна е положително число, от което заключаваме, че или. След извличане на корен, пишем окончателния отговор: непълното квадратично уравнение −x 2 + 9 = 0 има два корена x = 3 или x = −3.

Остава да се справим с решението на последния тип непълни квадратични уравнения за c = 0. Непълните квадратични уравнения на формата a · x 2 + b · x = 0 ви позволяват да решите метод на факторинг, Очевидно можем да разделим полинома от лявата страна на уравнението, за което е достатъчно да се раздели общият фактор x. Това ни позволява да преминем от първоначалното непълно квадратно уравнение до еквивалентно уравнение на формата x · (a · x + b) = 0. И това уравнение е еквивалентно на комбинацията от две уравнения x = 0 и a · x + b = 0, последното от които е линейно и има корен x = −b / a.

И така, непълното квадратично уравнение a · x 2 + b · x = 0 има два корена x = 0 и x = −b / a.

За да консолидираме материала, ще анализираме решението на конкретен пример.

Поставете х от скобите, това дава уравнение. Той е еквивалентен на двете уравнения x = 0 и. Решаваме полученото линейно уравнение:, и след като разделим смесеното число с обикновен дроб, намираме Следователно корените на първоначалното уравнение са x = 0 и.

След получаване на необходимата практика, решенията на такива уравнения могат да бъдат написани накратко:

Дискриминантната, формулата на корените на квадратното уравнение

За решаване на квадратични уравнения има коренна формула. Ние пишем формулата на корените на квадратното уравнение: къде D = b 2 −4 - т.нар дискриминант на квадратното уравнение, Записът по същество означава това.

Полезно е да се знае как е получена кореновата формула и как се използва за намиране на корените на квадратични уравнения. Ще се справим с това.

Извличане на формулата за корените на квадратното уравнение

Да предположим, че трябва да решим квадратното уравнение a · x 2 + b · x + c = 0. Извършваме някои еквивалентни трансформации:

  • Можем да разделим и двете части на това уравнение с ненулево число a и в резултат получаваме намаленото квадратично уравнение.
  • сега изберете пълен квадрат в лявата му част:. След това уравнението ще приеме формата.
  • На този етап можем да извършим прехвърлянето на последните два термина в дясната страна с противоположния знак, който имаме.
  • И ще преобразим израза, който се появява от дясната страна:.

В резултат на това стигаме до уравнение, което е еквивалентно на първоначалното квадратично уравнение a · x 2 + b · x + c = 0.

Вече решихме подобни формулални уравнения в предходните параграфи, когато анализирахме решението на непълни квадратни уравнения. Това ни позволява да направим следните изводи относно корените на уравнението:

  • ако тогава уравнението няма реални решения,
  • ако тогава уравнението има формата, следователно, откъдето се вижда единственият му корен,
  • ако, тогава или това е едно или друго, или уравнението има два корена.

По този начин наличието или отсъствието на корените на уравнението, а оттам и на първоначалното квадратично уравнение, зависи от знака на израза от дясната страна. От своя страна знакът на този израз се определя от знака на числителя, тъй като знаменателят 4 · a 2 винаги е положителен, тоест знакът на израза b 2 −4 · a · c. Този израз b 2 −4 · a · c се нарича дискриминант на квадратното уравнение и маркирани с буквата D, От това е ясна същността на дискриминанта - по неговата стойност и знак те правят извода дали квадратното уравнение има реални корени и ако да, какъв е техният брой - един или два.

Връщаме се към уравнението, пренаписваме го, използвайки обозначението на дискриминанта:. И заключаваме:

  • ако D, това уравнение няма истински корени,
  • ако D = 0, тогава това уравнение има един корен,
  • накрая, ако D> 0, тогава уравнението има два корена или, които, благодарение на свойствата на радикалите, могат да бъдат пренаписани като или и след разширяване на модула и намаляване на дробите до общ знаменател, получаваме.

И така, получихме формулите на корените на квадратното уравнение, те имат формата, в която дискриминантът D се изчислява по формулата D = b 2 −4 · a · c.

С тяхна помощ, с положителен дискриминант, можете да изчислите и двата реални корена на квадратното уравнение. С дискриминант, равен на нула, и двете формули дават една и съща коренна стойност, съответстваща на уникално решение на квадратното уравнение. И с отрицателен дискриминант, когато се опитваме да използваме формулата на корените на квадратното уравнение, се сблъскваме с извличането на квадратния корен от отрицателно число, което ни извежда извън реалните числа и училищната програма. С отрицателен дискриминант, квадратното уравнение няма реални корени, но има двойка сложен конюгат корени, които могат да бъдат намерени по същите коренни формули, които сме получили.

Алгоритъм за решаване на квадратични уравнения чрез коренни формули

На практика, когато решавате квадратни уравнения, можете незабавно да използвате коренната формула, с която да изчислите техните стойности. Но това е повече за намирането на сложни корени.

Въпреки това, в училищен курс по алгебра обикновено не става въпрос за сложни, а за истинските корени на квадратното уравнение. В този случай е препоръчително първо да намерите дискриминатора, преди да използвате формулите на корените на квадратното уравнение, да се уверите, че то е отрицателно (в противен случай можем да заключим, че уравнението няма реални корени) и след това да се изчислят стойностите на корените.

Горните разсъждения ни позволяват да пишем алгоритъм на квадратично уравнение, За да разрешите квадратното уравнение a · x 2 + b · x + c = 0, трябва да:

  • използвайки дискриминантната формула D = b 2 −4 · a · c, изчислете нейната стойност,
  • заключаваме, че квадратното уравнение няма реални корени, ако дискриминантът е отрицателен,
  • изчисли единствения корен на уравнението по формулата, ако D = 0,
  • Намерете два реални корена на квадратното уравнение, използвайки коренната формула, ако дискриминантът е положителен.

Тук само отбелязваме, че за дискриминант, равен на нула, човек също може да използва формулата, той ще даде същата стойност като.

Можем да преминем към примери за приложението на алгоритъма за решаване на квадратични уравнения.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Рассмотрим решения трех квадратных уравнений с положительным, отрицательным и равным нулю дискриминантом. Разобравшись с их решением, по аналогии можно будет решить любое другое квадратное уравнение. Начнем.

Найдите корни уравнения x 2 +2·x−6=0 .

В този случай имаме следните коефициенти на квадратното уравнение: a = 1, b = 2 и c = −6. Според алгоритъма първо трябва да изчислим дискриминанта, за това заместваме посочените a, b и c във формулата на дискриминанта, имаме D = b 2 −4 · a · c = 2 2 −4 · 1 · (−6) = 4 + 24 = 28 , Тъй като 28> 0, тоест дискриминантът е по-голям от нула, квадратното уравнение има две реални корени. Намираме ги по формулата на корените, получаваме, тук можете да опростите получения израз, като направите разделяне на коренния знак с последващо намаляване на фракцията:

Преминаваме към следния характерен пример.

Гледайте видеоклипа: Математика 8 клас. Непълно квадратно уравнение (Февруари 2023).

Pin
Send
Share
Send
Send